INTRODUÇÃO A EPISTEMOLOGIA DA CIENCIA

3.2.3 A matemática na Grécia.

O povoamento da Grécia e da Península Itálica deu-se a partir do segundo milênio a.C., com a invasão dos aqueus, jônicos, dóricos e itálicos. Ambas as civilizações organizaram-se em sociedades de classes, baseadas no sistema de produção escravista.

A pobreza do solo grego e, conseqüentemente a baixa produtividade agrícola, levou os gregos a buscarem alimentos em outras regiões. Esta situação, aliada à presença do mar, possibilitou aos gregos encontrarem na navegação e na atividade de trocas a saída para sua escassez de alimentos.

O crescimento das transações comerciais e o artesanato foram fundamentais para a formação de várias cidades com governos próprios. A polis (cidade) grega abrangia o centro urbano e as terras e campos vizinhos. Nela, a exploração do trabalho escravo cresceu consideravelmente, favorecendo a formação de uma classe intermediária, os grandes comerciantes e artesãos. Conseqüentemente, isto acentuou a divisão em classes e a ausência de equilíbrio interior nas cidades.

A expansão comercial e marítima, a colonização de várias cidades do sul da Itália e a utilização da moeda, fizeram a riqueza das cidades gregas do litoral da Ásia Menor e da Grécia Balcânica e propiciaram o surgimento dos pensadores, com suas especulações filosóficas e científicas.

Os pensadores gregos introduziram uma nova forma de se perguntar pela realidade a sua volta. Em suas especulações, em seus diálogos e em seus debates, uma das formulações constantes passou a ser: a formação do universo. Introduziram o por quê? Em suas especulações. Criaram, assim, uma nova forma de ver o mundo.

A matemática grega nasceu no racionalismo jônico, com Tales de Mileto, no século VI a.C ., que desenvolveu também as bases do materialismo espontâneo ou Filosofia da Natureza.

A reconstrução desse período baseia-se em narrações fragmentadas e tradições elaboradas dos séculos posteriores.

A geometria para ser considerada ciência tiveram que passar muitos séculos, até a chegada dos gregos. Na Grécia onde se ordenavam os conhecimentos empíricos adquiridos pelo homem através dos tempos a substituição da observação e da experiência por deduções racionais, elevou a geometria ao plano rigorosamente científico, a geometria dos gregos era evidentemente empírica, não se baseava num sistema lógico deduzido a partir de axiomas e postulados. Os gregos grandes pensadores, não se contentavam em saber regras e como resolver problemas particulares eles não ficavam satisfeitos até que pudessem obter explicações racionais das questões em geral, especialmente das geométricas.

É na Grécia onde se inicia a geometria como ciência dedutiva, é provável que alguns matemáticos gregos como Tales, Heródoto, Pitágoras, etc., foram a Egito para iniciarem seus conhecimentos geométricos, estes já existentes em tal país. E a geometria como ciência dedutiva deve-se a eles.

Tales era um mercador. Visitou a Babilônia e o Egito, onde deve ter adquirido parte dos seus conhecimentos matemáticos, aos quais deu um tratamento racional, perguntando, por exemplo:

Por que, os triângulos isósceles têm dois ângulos iguais? Por que a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º?

Tales sabia que os triângulos podem ter as mais variadas formas e, conseqüentemente, as medidas dos seus ângulos internos também podem ser as mais variadas. Apesar dessas diferenças, ele sabia que as medidas dos ângulos de qualquer triângulo têm sempre uma propriedade em comum: somadas dão 180º.

Ao se perguntar por que isso acontecia, Tales deslocava-se do procedimento de ficar desenhando triângulos, para depois medir os seus ângulos e somá-los. Especulando sobre essa questão, Tales pôde demonstrar vários teoremas, sem fazer uma só medida. Utilizou apenas propriedades geométricas muito simples, já estabelecidas. Destacamos aqui o enunciado de dois deles e a demonstração do teorema sobre a medida de ângulos.

 Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais.

 Em qualquer triângulo, a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 180º.

Na segunda metade do século VI a.C. surgiram os Pitagóricos. A escola fundada por Pitágoras, em Crotona, na Itália, tinha como preceitos: o vegetarianismo, a transmissão oral do ensino e o poder comum sobre as coisas. Diferenciou-se das demais escolas pelo papel atribuído aos números. Enquanto, para Tales de Mileto, “Tudo é água”, para Pitágoras, motivo de explicação de todas as coisas encontrava-se no número e na harmonia.

O número exercia o papel da matéria e da forma do universo. Um ponto, os Pitagóricos chamavam de um; uma reta, de dois; uma superfície, de três e um sólido, de quatro. Donde se conclui que pontos geravam retas, que geravam superfícies, que geravam sólidos, que formavam o universo.

Assim, de acordo com os Pitagóricos, através de leis matemáticas, que traduzem os números figurados, é possível gerar figuras a partir de outras figuras. O número da forma que os Pitagóricos chamavam de número triangular, permite gerar triângulos equiláteros, a partir de outros triângulos equiláteros.

A doutrina do atomismo numérico da escola pitagórica não se sustentou. Foi abalada de morte por uma descoberta dentro da própria escola, a descoberta da incomensurabilidade, e pelo ataque externo dos argumentos de Zenão de Eléia, conhecidos como Paradoxos de Zenão.

A aplicação do teorema de Pitágoras a um triângulo retângulo isósceles mostrou que os números inteiros, os naturais de hoje, e as razões entre inteiros eram insuficientes para representar relações entre quantidades contínuas, tais como o segmento de reta.

A concepção dos números figurados e a idéia de que o espaço e o tempo podem ser pensados como consistindo cada um de elementos separados - pontos e instantes - foram atacadas por Zenão de Eléia através de quatro paradoxos: dicotomia, Aquiles e da tartaruga, flecha e estádio.

Zenão de Eléia era discípulo de Parmênides. Ambos eram da cidade de Elea, colônia grega da Itália.

Ao pensar nestes paradoxos, devemos ter em mente que os Pitagóricos admitiam como números apenas o que hoje chamamos de números naturais. Além disso, os gregos não tinham posse dos conceitos que temos hoje de movimento instantâneo, limite e séries infinitas.

A partir dos pequenos fragmentos da obra de Parmênides de Eléia e de registros posteriores pode-se reconstituir que Parmênides foi o primeiro filósofo a separar razão de opinião. Chamando o objeto puramente da razão de verdade e, a opinião, aquilo que era dado pelos sentidos, pela observação, Parmênides abriu caminho para a separação entre razão e experiência, entre teoria e prática. Influenciou todo o movimento científico posterior e as discussões em torno desta dicotomia levantada por ele.

As lutas sociais constantes refletiam a revolta dos setores populares contra os governos. O estabelecimento da democracia não amenizou a situação, visto que, na sociedade grega, o termo cidadão designava, apenas, os homens livres, adultos do sexo masculino, filhos de pais já cidadãos. Conseqüentemente, a democracia, como governo do povo, era um governo feito somente para os homens livres, que utilizavam parte do seu tempo ou todo ele para a convivência social. Era uma democracia escravista.

Após o período de guerra com os persas, que se encerrou e com a derrota destes, a cidade de Atenas transformou-se em centro cultural de toda a Grécia. As mudanças decorrentes deste período vão colocar em primeiro plano uma nova problemática, a inserção do homem no mundo, sua constituição, sua realidade e sua forma de se organizar social e politicamente.

As respostas a esta problemática e suas implicações vão dar origem a duas correntes filosóficas opostas:

 os sofistas;

 os socráticos.

Os sofistas tinham como objetivo popularizar o saber. Segundo eles, não pode haver verdade absoluta. O homem só pode conhecer a realidade concreta que se transforma a cada momento e, além disso, esse conhecimento é o resultado de sua própria elaboração, de sua interpretação.

Sócrates, Platão e Aristóteles vão debater os rumos da política, os fenômenos da natureza, de forma polarizada o bem e o mal, a verdade e a falsidade, o sentimento e a razão, o corpo e o espírito. Vão criar, com isso, um mundo extremamente dividido.

Para Platão (fins do século V a.C. e primeira metade do século IVa.C.), existem dois mundos:

 O mundo das Idéias ou das Formas;

 O mundo das aparências.

O mundo das Idéias é o mundo dos modelos ideais, que só podem ser captados por meio da especulação. Para o homem chegar à verdade, vai nos dizer Platão, ele precisa abandonar o mundo dos sentidos e reavivar em sua alma a lembrança das Idéias. A Matemática refere-se a entidades com existência objetiva, que não se encontram no mundo empírico. As formas matemáticas pré-existiam aos objetos empíricos e à mente do matemático que, como um explorador só faz descobri-las. O mundo matemático, segundo Platão, é um mundo harmônico, por excelência, um mundo simétrico, de relações puras e absolutas, que pode servir de modelo ao mundo empírico.

Aristóteles (século IV a.C.) opôs-se ao idealismo platônico, demonstrando que as idéias não podem existir separadas das coisas. O homem, como todos os seres, é constituído de matéria, elemento inerte e forma, elemento vivo e ativo. Dedicou-se praticamente a todos os ramos do conhecimento e defendia o estudo das causas como a preocupação da Filosofia. Considerava que os enunciados matemáticos podem ser verdadeiros ou falsos, dependendo de sua adequação como representantes do mundo empírico. Foi o primeiro a criar um sistema formal de raciocínio, a lógica, precursora da lógica matemática, estabelecida no início do século XX.

Platão e Aristóteles escreveram em um período de crise da democracia escravista. Ambos defendiam a sociedade aristocrata e escravista.

“Todos aqueles que nada têm de melhor para nos oferecer que o uso do seu corpo e dos seus membros são condenados pela Natureza à escravidão”.

O pensamento filosófico e científico grego desta época produziu conceitos, teorias, métodos de raciocínio e visões do mundo que influenciaram todo o mundo ocidental posterior.

O caráter estático e imobilista da sociedade grega, aliado ao abalo sofrido pela descoberta da incomensurabilidade e pelos paradoxos de Zenão, direcionou a matemática grega à recusa de qualquer consideração sobre as questões relativas ao movimento, ao infinito e, sobretudo, à ênfase na aritmética. A matemática transformou-se em uma geometria e as questões aritméticas ganharam uma abordagem geométrica.

O exemplo desta mudança encontra-se em Eudóxio, com sua teoria das proporções, numa abordagem estritamente axiomática e geométrica.

Comparar a grandeza contínua com a unidade significa medi-la, e foi na realização deste procedimento que os Pitagóricos depararam com grandezas incomensuráveis e com os números irracionais. Eudóxio desviou-se dessa questão ao abandonar a idéia de utilizar números para medir grandezas. Em seu lugar, fez uso de uma outra grandeza de mesma natureza e da idéia de razão, que lhe permitia operar com os incomensuráveis num sentido estritamente geométrico.

 Uma razão é uma espécie de relação entre o tamanho de duas grandezas de mesma natureza. Assim, se A e B são duas grandezas de mesma espécie, a notação significa a razão entre A e B .

 Diz-se que duas razões são iguais, isto é: = se um equimúltiplo qualquer de A e de B é ao mesmo tempo, e respectivamente, superior, igual ou inferior a um equimúltiplo de C e D.

Segundo estas definições, só se podem operar grandezas de mesma espécie. Não pode haver nenhuma relação entre uma reta e uma superfície ou entre uma superfície e um sólido. Esta restrição permaneceu até final do século XVII. Estas definições possibilitam operar grandezas incomensuráveis de forma estritamente geométrica.

A ausência de equilíbrio interno das cidades gregas favoreceu o expansionismo, primeiro macedônio e, mais tarde, romano, sobre a civilização grega. A conquista da Grécia pelos Macedônios, no século IV a.C ., favoreceu a difusão da cultura grega, que, associada a elementos da cultura oriental, resultou na cultura helenista. A cidade de Alexandria no Egito tornou-se um dos principais centros difusores dessa cultura, congregando vários filósofos e cientistas, chamados por Ptolomeu para ensinar no Museu que ele criou. Entre eles encontrava-se Euclides, conhecido pela sua arte de ensinar.

De Euclides sabemos de sua fama como bom mestre e de sua obra ``Elementos'', marco na história da matemática, pois apresenta uma nova forma de tratar os conhecimentos matemáticos, a estrutura axiomática. Euclides reúne em seus Elementos as descobertas geométricas de seus precursores. Não se encontra em sua obra o recurso à medição de ângulos, comprimentos ou observações para o estabelecimento de relações entre as figuras geométricas. Assim, diferentemente das concepções indutivas e empíricas adotada pelos egípcios e babilônios, cuja geometria se referia diretamente a problemas de medição de terra, templos e outros problemas concretos, Euclides concebia que uma reta pode ser traçada de modo a ligar dois pontos quaisquer, independentes da possibilidade de traçá-la na realidade, devido a um obstáculo, como uma montanha, por exemplo.

Os Elementos dividem-se em 13 livros, dos quais os 6 primeiros são sobre geometria elementar, propriedades de retas e ângulos, congruência de triângulos, igualdade de áreas, teorema de Pitágoras e a teoria das proporções de Eudóxio; os três livros seguintes abordam a teoria dos números, como divisibilidade de inteiros, adição de séries geométricas e propriedades dos números primos; o 10º contém a classificação geométrica de irracionais quadráticos e suas raízes quadráticas, e os três últimos, sobre geometria no espaço, tratam dos volumes dos paralelepípedos, do prisma, das pirâmides, da esfera e dos cinco poliedros regulares .

Euclides mantém-se no caminho aberto por Eudóxio, na apresentação da matemática desenvolvida pelos Pitagóricos e por outros matemáticos: o uso de uma linguagem geométrica. Além disso, não se preocupa em apresentar uma propriedade específica de uma determinada figura, mas em enunciar leis que todas as figuras da mesma espécie devem satisfazer. Algumas dessas leis são premissas básicas, que ele chama de postulados, outras são os teoremas, os quais ele demonstra a partir das premissas básicas.

A utilização de uma abordagem geométrica para tratar a aritmética pitagórica e a álgebra deve-se a Eudóxio e seu desvio de operar com incomensuráveis, como números. Assim, a expressão é apresentada como sendo o lado do quadrado de área A e o produto a.b como sendo a área de um retângulo de lados a e b .

Neste livro ele apresentou 18 proposições referentes às medidas de figuras, as quais ele prova utilizando o método de exaustão, que consiste em esgotar a figura por meio de aproximações de outra figuras com áreas conhecidas.

O método de exaustão, utilizado por Eudóxio e depois por Arquimedes, é conhecido também por axioma de Arquimedes.

Coube a Arquimedes a primeira demonstração rigorosa da lei estabelecida entre a área do círculo e o comprimento da circunferência, famoso problema da antiguidade, conhecido como a quadratura do círculo, problema este que vai dar origem ao desenvolvimento da teoria da integração.

O problema da quadratura consistia em transformar qualquer figura poligonal de área S em um quadrado de área S. Através de transformações sucessivas, a figura poligonal é transformada em um triângulo de mesma área, este, em um paralelogramo de mesma área, este, em um retângulo de mesma área e, finalmente, o retângulo é transformado num quadrado com igual área.

Arquimedes destaca-se, principalmente, pela sua articulação entre uma matemática aplicada e uma matemática abstrata, diferenciando-se, assim, do rumo da matemática grega de até então. Segundo Platão, havia uma matemática abstrata, de alcance somente dos intelectuais, e uma matemática útil, destinada aos comerciantes e artesãos. Arquimedes apresenta, em seus textos, uma originalidade de raciocínio articulada com técnicas de cálculos e rigor na demonstração dos seus teoremas.

Arquimedes inscreveu um hexágono regular em um círculo e, depois, de duplicação em duplicação, foi inscrevendo no círculo polígonos com um número de lados cada vez maior até chegar a 96 lados. Calculou o perímetro dos polígonos regulares inscritos e obteve, assim, uma boa aproximação por falta para. De modo análogo, Arquimedes foi circunscrevendo polígonos regulares no círculo até obter uma boa aproximação por excesso para.

O resultado do seu cálculo foi uma aproximação para entre. Os métodos desenvolvidos por Arquimedes para obter áreas de regiões limitadas por curvas constituíram como ponto de partida para o conceito de integração no século XVIII.

Uma outra característica do pensamento de Arquimedes foi a introdução do movimento e de algumas curvas descritas pelos movimentos, como problemáticas que mereciam consideração. Em seu trabalho Sobre Espirais, ele nos mostra o primeiro caso de tangente em um ponto de uma curva, que não era o círculo. Suas idéias vão dar origem, no século XVIII, ao conceito de derivada e, juntamente com o conceito de integração, ao desenvolvimento de um novo ramo da matemática - o cálculo diferencial e integral.

A matemática helenista, considerada por muitos como dominada por uma tradição platônica e aristotélica, tem com o trabalho de Arquimedes a prova de que este domínio teve suas exceções [16].

O crescimento das cidades romanas vai levar, no século III a.C., à expansão do Império Romano, cuja maior preocupação era com a vida social e política.

O império Romano dividiu-se naturalmente numa parte ocidental, de agricultura extensiva, mantida pelo trabalho escravo, e uma parte oriental, de agricultura intensiva, que dispensava o uso de mão-de-obra escrava. A classe dos donos de escravos, que se enriquecia cada vez mais, não tinha interesse por descobertas técnico-científicas. Neste contexto, a vida intelectual dos romanos foi-se direcionando para uma filosofia social e política. Criaram um sistema de leis e códigos que prevalecem até hoje.

Se o pensamento filosófico dos gregos constituiu o solo base da formação do nosso pensamento, isto é, do pensamento Ocidental, o modelo jurídico, político e administrativo desenvolvido pelos romanos tornou-se o modelo, por excelência, a regular a organização social e política do homem ocidental.

Dentre os movimentos filosóficos, o estoicismo, fundado por Zenão, ganhou um novo vigor durante o período helenista. O mundo, segundo os estóicos, é constituído por dois elementos primordiais: a matéria, regida pela inércia, e o Logos, regido pelo princípio ativo. Consistia numa doutrina moralista, que considerava como fim último do homem a prática da virtude e a recusa de qualquer concessão aos sentimentos.

O epicurismo visava libertar o homem dos seus medos para que este pudesse encontrar, no verdadeiro prazer, regido por uma ética e uma moral, o sentido da vida. Sua concepção materialista das coisas e mecanicista dos fenômenos da natureza, os quais são estritos ao movimento e à sua lei, esteve muito presente no mundo romano.

Em seu projeto imperial, Roma buscava uma reorganização urbana, que exigia o desenvolvimento de uma matemática prática, encontrada na obra de Marcus Vitruvius sobre arquitetura.

Por outro lado, enquanto o Império Romano se manteve estável, apesar do domínio político e econômico sobre toda a região, no que concernia ao desenvolvimento das idéias e, sobretudo à religião, ele se manteve extremamente tolerante.

A matemática e a filosofia continuaram a se desenvolver durante este período de expansão e domínio do Império Romano, enquanto Alexandria se preservou como o grande centro cultural da matemática antiga. A matemática desenvolvida neste centro foi fortemente influenciada pelas idéias de Euclides, Platão e Aristóteles, com demonstrações geométricas abstratas de um lado e, de outro, pela matemática egito - babilônica, com uma aritmética computacional e uma álgebra elementar.

Apolônio de Perga, com seus estudos sobre as cônicas, apresenta um tratado sobre a parábola, a elipse e a hipérbole, introduzidas como seções de um cone circular. As seções cônicas já eram conhecidas quando Apolônio escreveu seus estudos sobre as curvas, dando-lhes uma abordagem completamente nova, que mais se aproxima do ponto de vista moderno do que da abordagem dada por matemáticos de sua época, como Euclides.

Cláudio Ptolomeu, conhecido por sua obra de astronomia A Coleção Matemática, utilizou a geometria para o estudo das órbitas do planeta, tendo a terra como centro de referência. Chamada pelos árabes de Almagesto, que quer dizer, a maior, sua obra apresenta uma descrição matemática do funcionamento do sistema solar. Os Capítulos 10 e 11 apresentam um desenvolvimento da trigonometria do seno e coseno de dois ângulos e um começo da trigonometria esférica.

Diofanto, em sua obra “A Arithmetica”, apresenta uma coleção de 150 problemas de natureza algébrica cuja resolução foi feita com a utilização de uma notação algébrica. Seu trabalho constitui um exemplo da sobrevivência da antiga álgebra da Babilônia, em meio ao brilho da matemática grega. Sua análise consiste em encontrar respostas para equações indeterminadas, entre as quais:

A falta de mão-de-obra escrava e as altas taxas de juros e tributos levaram à diminuição do volume de trocas de mercadorias entre o campo e as cidades e, conseqüentemente, ao declínio das cidades e êxodo dos seus moradores em direção ao campo, para viverem sob a dependência de um grande proprietário de terra. Como conseqüência desta situação crítica vivida apenas pela parte Ocidental do Império, a unidade do mesmo foi se fragmentando, e sua parte ocidental se desmoronou.

Com o declínio do Império Romano, a escola de Alexandria foi desaparecendo e a matemática grega, que teve seu início no século VII a.C. e viajou da Jônia à ponta da Itália, de Atenas à Alexandria, perdeu o seu vigor e o seu ritmo de produção. O centro de investigação matemática deslocou-se para o Oriente, ficando restrita no ocidente a pouquíssimos trabalhos, só retornando com vigor séculos mais tarde.